Question

（2012•漳州模拟）在平面直角坐标系中，圆x²+y²=R²（R＞0）上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若劣弧AB的长为L，则

L

R

等于

OA

， 

OB

夹角的弧度数，从而cos

L

R

=

x1x2+y1y2

R2

．在空间直角坐标系中，以原点为球心，半径为R的球面上两点A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），若A、B两点间的球面距离为L，则cos

L

R

等于

x1x2+y1y2+z1z2

R2

．

Answer 1

分析：用平面中图形中圆的弧长的性质类比球面上两点间的球面距离的性质，用平面上两个向量的数量积类比空间中两个向量的数量积，从而得出结论．

解答：解：由于在圆x²+y²=R²（R＞0）上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若劣弧AB的长为L，则

L

R

等于

OA

， 

OB

夹角的弧度数，cos

L

R

=

x1x2+y1y2

R2

．
类比可得，在空间直角坐标系中，以原点为球心，半径为R的球面上两点A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），若A、B两点间的球面距离为L，
则cos

L

R

等于

x1x2+y1y2+z1z2

R2

．
故答案为

x1x2+y1y2+z1z2

R2

．

点评：本题主要考查类比推理，用平面中图形的线的性质类比立体图形中的面的性质，用平面上的圆的性质类比立体图形中的球的性质，属于基础题．