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精英家教网在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(cosθ=
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方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
分析:建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向.设在时刻:t(h)台风中心P(x,y)的坐标进而可知此时台风侵袭的区域,根据题意可知其中r(t)=10t+60,若在t时,该城市O受到台风的侵袭,则有(0-x)2+(0-y)2≤(10t+60)2,进而可得关于t的一元二次不等式,求得t的范围,答案可得.
解答:解:如图建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向.
在时刻:t(h)台风中心P(x,y)的坐标为
x=300×
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-20×
2
2
t
y=-300×
7
2
10
+20×
2
2
t.

令(x′,y′)是台风边缘线上一点,则此时台风侵袭的区域是(x′-x)2+(y′-y)2≤[r(t)]2
其中r(t)=10t+60,
若在t时,该城市受到台风的侵袭,
则有(0-x)2+(0-y)2≤(10t+60)2
(300×
2
10
-20×
2
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t)2+(-300×
7
2
10
+20×
2
2
t)2≤(10t+60)2

即t2-36t+288≤0,解得12≤t≤24.
答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭.
点评:本题主要考查了圆的方程的综合运用.考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.
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方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时?

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