Question

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南θ(cosθ=

2

10

)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

Answer 1

分析：建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0-x）²+（0-y）²≤（10t+60）²，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．

解答：解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．
在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为

x=300× 2 10 -20× 2 2 t y=-300× 7 2 10 +20× 2 2 t.

令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′-x）²+（y′-y）²≤[r（t）]²，
其中r（t）=10t+60，
若在t时，该城市受到台风的侵袭，
则有（0-x）²+（0-y）²≤（10t+60）²，
即(300×

2

10

-20×

2

2

t)2+(-300×

7 2

10

+20×

2

2

t)2≤(10t+60)2，
即t²-36t+288≤0，解得12≤t≤24．
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭．

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．