Question

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2

2

，CD=2，PA⊥平面ABCD．PA=4
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求异面直AC与PD所成角的余弦值；
（3）设Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为

3

3

，求

PQ

PB

的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能证明BD⊥平面PAC．
（2）由

AC

=(2，2

2

，0)，

DP

=(0，-2

2

，4)，利用向量法能求出异成直线AC与PD所成角的余弦值．
（3）设

PQ

PB

=λ（其中0＜λ＜1），Q（x，y，z），设直线QC与平面PAC所成角为θ．利用向量法能求出

PQ

PB

的值．

解答： （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，…（1分）
则B（4，0，0），P（0，0，4），D(0，2

2

，0)，C(2，2

2

，0)．
∴

BD

=(-4，2

2

，0)，

AC

=(2，2

2

，0)，

AP

=(0，0，4)，…（2分）
∴

BD

•

AC

=(-4)×2+2

2

×2

2

+0×0=0，

BD

•

AP

=(-4)×0+2

2

×0+0×4=0．
∴BD⊥AC，BD⊥AP．
∵AP∩AC=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC．…（4分）
（2）解：∵

AC

=(2，2

2

，0)，

DP

=(0，-2

2

，4)…（5分）cos＜

AC

，

DP

＞=-

2

3

，
∴异成直线AC与PD所成角的余弦值

2

3

…（8分）
（3）解：设

PQ

PB

=λ（其中0＜λ＜1），Q（x，y，z），
设直线QC与平面PAC所成角为θ．
∴

PQ

=λ

PB

，∴（x，y，z-4）=λ（4，0，-4）．
∴

x=4λ y=0 z=-4λ+4

即Q（4λ，0，-4λ+4）．…（9分）
∴

CQ

=(4λ-2，-2

2

，-4λ+4)．
平面PAC的一个法向量为

BD

=(-4，2

2

，0)．…（10分）
∵sinθ=|cos＜

CQ

，

BD

＞|=|

CQ • BD

| CQ |•| BD |

|，
∴

3

3

=|

-4(4λ-2)-8

2 6 • (4λ-2)2+8+(-4λ+4)2

|．…（11分）
解得λ=

7

12

∈[0，1]．
∴

PQ

PB

=

7

12

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查两线段比值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．