Question

数列{a_n}、{b_n}均为各项都是正整数的等差数列，a_n=n，b₁=1，在集合M={（a_i，b_j）︳i=1，2，3，…，n；j=1，2，3，…，n}中满足a_i+b_j≤4的点恰有4个．
（Ⅰ）求b_n及{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）求{

1

(2an+1)bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）满足a_i+b_j≤4的正整数值组合有（1，1）（2，1）（2，2）（3，1），分别讨论验证，得出b₂=3
利用等差数列通项公式和求和公式求b_n及{b_n}的前n项和S_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

(2an+1)bn

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂项后求和．

解答： 解：（Ⅰ）因为（1，1）（2，1）（3，1）适合a_i+b_j≤4，即（a₁，b₁），（a₂，b₁），（a₃，b₁），适合条件，
若b₂=2，则（a₁，b₂），（a₂，b₂）也适合条件，与已知矛盾
若b₂=3，则（a₁，b₂）适合条件，而（a₂，b₂）不适合条件，此时共有（a₁，b₁），（a₂，b₁），（a₃，b₁） （a₁，b₂）适合条件，当b₂＞3时，不可能适合条件，所以b₂=3
即b_n=1+（n-1）2=2n-1，Sn=

(1+2n-1)n

2

=n2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

(2an+1)bn

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

(2a1+1)b1

+

1

(2a2+1)b2

+…+

1

(2an+1)

=

1

2×1-1

-

1

2×1+1

+

1

2×2-1

-

1

2×2+1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

点评：本题考查等差数列通项公式，求和运算，考查分类讨论，逻辑推理能力．