Question

曲线y=x³-2x+1在x=0处的切线与直线mx-y+2m-1=0的交点位于第一象限，则实数m的取值范围是

（

2

5

，1）

．

Answer 1

分析：先求导数f′（x）=3x²-2，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．又直线2x+y-1=0与坐标轴的两个交点分别为：A（0，1），B（

1

2

，0），如图．利用直线PA与PB的斜率，结合图象即可求得切线与直线mx-y+2m-1=0的交点位于第一象限，实数m的取值范围．

解答：解：f′（x）=3x²-2，f'（0）=-2，f（0）=1（2分）
∴曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y-1=-2（x-0），即2x+y-1=0（4分）
直线mx-y+2m-1=0恒过定点P（-2，-1）
又直线2x+y-1=0与坐标轴的两个交点分别为：A（0，1），B（

1

2

，0），如图．
∴直线PA与PB的斜率分别为：1和

2

5

，
为了使得切线与直线mx-y+2m-1=0的交点位于第一象限，则实数m的取值范围是（

2

5

，1）
故答案为：（

2

5

，1）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、直线的交点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．