Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，，且，{b_n}为等比数列．
（Ⅰ）求实数λ及数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n≥2，n∈N^*时，
∴，
即
∴λ=1
∴b_n=2b_n-1
而
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=n.2ⁿ-n．
（Ⅱ）S_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ-（1+2+3++n）
令T_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ，
则2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴++n×2ⁿ⁺¹两式相减得
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2∴
分析：（Ⅰ）当n≥2，n∈N^*时，，，故λ=1，b_n=2b_n-1，由此能求出实数λ及数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ-（1+2+3+…+n），令T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由错位相减法能求出S_n．
点评：第（Ⅰ）题考查数列的通项公式，解题时要注意合理地进行等价转化；第（Ⅱ）题考查数列前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．