Question

14．函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求得ω，由最低点的坐标结合五点法作图求得A及φ的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由图象与x轴相邻两个交点间的距离为$\frac{π}{2}$，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，
再根据图象上一个最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-2），可得A=2，2×$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（Ⅲ）当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，故函数的值域为[-1，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．