Question

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足f（x）≤g（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=lnx，g（x）=1-

1

x

．
（1）试探求f（x）与g（x）是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由．
（2）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数f（x）图象上任意两点，0＜x₁＜x₂，且存在实数x₃＞0，使得f（x₃）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，证明：x₁＜x₃＜x₂．

Answer 1

分析：（1）由题意知f（x）与g（x）有公共点，确定在公共点处的切线方程为y=x-1，再证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-

1

x

≤lnx≤x-1（x＞0）；
（2）利用反证法进行证明，令x₃≤x₁，则x3=

x2-x1

ln x2 x1

≤x1，从而可得x2-x1≤x1ln

x2

x1

＜x1(

x2

x1

-1)=x2-x1，由此得证．

解答：解：（1）由题意知f（x）与g（x）有公共点，令其为（x₀，y₀），则f（x₀）=f（x₀），f'（x₀）=g'（x₀），即

1 x0 = 1 x 2 0 lnx0=1- 1 x 2 0

，解得x₀=1，y₀=1．
所以在公共点处的切线方程为y=x-1．
下证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-

1

x

≤lnx≤x-1（x＞0）．
先构造函数h（x）=lnx-x+1（x＞0），则h'（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令h'（x）＞0可得0＜x＜1，h'（x）＜0可得x＜0或x＞1，
∴函数在x=1处h（x）取得最大值h（1）=0，所以lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1（x＞0）．（4分）
再构造函数φ（x）=lnx-1+

1

x

（x＞0），则φ′（x）=

x-1

x2

，
令φ'（x）＞0可得x＞1，φ'（x）＜0可得x＜1，
∴在x=1处φ（x）取得最小值φ（1）=0，所以lnx-1+

1

x

≥0，即lnx≥1-

1

x

（x＞0）．
故对任意x∈（0，+∞），恒有1-

1

x

≤lnx≤x-1（x＞0）成立，即y=x-1就是左同旁切线方程．（6分）
（2）因为f′（x）=

1

x

，所以f′（x₃）=

1

x3

=

lnx2-lnx1

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

，所以x3=

x2-x1

ln x2 x1

．
令x₃≤x₁，则x3=

x2-x1

ln x2 x1

≤x1，
∴x2-x1≤x1ln

x2

x1

＜x1(

x2

x1

-1)=x2-x1，
显然自相矛盾，故x₁＜x₃；同理可证x₃＜x₂．
故x₁＜x₃＜x₂．（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查新定义，考查函数的最值，正确理解新定义是关键．