Question

某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量p（L）关于行驶速度v（km/h）的函数解析式可以表示为：p=

1

128000

v3-

3

80

v+8（{0＜v≤120}）．已知甲、乙两地相距100km，设汽车的行驶速度为x（km/h），从甲地到乙地所需时间为t（h），耗油量为y（L）．
（1）求函数t=g（x）及y=f（x）；
（2）求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）汽车行驶的时间函数t=g（x）=

路程

速度

；耗油量函数y=f（x）=每小时耗油量p×函数t，代入数据整理即可．
（2）对y求导，得y^′，令y'=0，得x的值，由导数的正、负与函数增减性的关系求得y的最小值．

解答：解：（1）从甲地到乙地汽车的行驶时间为：t=g(x)=

100

x

(0＜x≤120)，
则耗油量y=f(x)=pt=(

1

128000

x3-

3

80

x+8)•

100

x

=

1

1280

x2+

800

x

-

15

4

(0＜x≤120)．
（2）对y求导，得y′=

x

640

-

800

x2

=

x3-803

640x2

，由y'=0，得x=80，列出下表：

x	（0，80）	80	（80，120）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值11.25	↗

所以，当x=80时，y取得极小值也是最小值11.25．
答：当汽车的行驶速度为80km/h时，耗油量最少，为11.25L．

点评：本题利用求导数的方法考查了函数的增减性和最值问题：当f'（x）＜0时，f（x）在这一区间上是减函数；当f'（x）＞0时，f（x）在这一区间上是增函数．