Question

【题目】已知点，，，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线与的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当与点不重合时，根据直线与的斜率之积为，直接可求出动点的轨迹方程；当与点重合时，或，最后写出动点的轨迹方程；

（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.

当矩形各边均不与坐标轴平行时，

根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为

另一边所在的直线为，则对边方程为，

联立：，得，

则，即.矩形的一边长为，

同理：，矩形的另一边长为，

，综上：.

解：（1）当与点不重合时，

，得，即，

当与点重合时，或.

综上，动点的轨迹方程为.

（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.

当矩形各边均不与坐标轴平行时，

根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为

另一边所在的直线为，则对边方程为，

联立：，得，

则，即.

矩形的一边长为，

同理：，矩形的另一边长为，

，

综上：.