Question

2．设e₁、e₂分别为具有公共焦点F₁、F₂的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|$\overrightarrow{PF}$₁+$\overrightarrow{PF}$₂|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，则$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{{e}_{1}^{2}+{e}_{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设出椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，它们的半焦距，利用椭圆的和双曲线的定义可得焦半径，写出两个曲线的离心率，即可得到结果．

解答 解：设椭圆的长半轴是a₁，双曲线的实半轴是a₂，它们的半焦距都是c．
并设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，
根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
∵设椭圆的长半轴是a₁，双曲线的实半轴是a₂，它们的半焦距是c．
并设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，
根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
∵|$\overrightarrow{PF}$₁+$\overrightarrow{PF}$₂|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，即2|PO|=2|OF₂|，故△PF₁F₂ 为直角三角形，∴PF₁⊥PF₂，
由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|² ，可得（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²，
化简可得a₁²+a₂²=2c²，∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，
∴$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{{e}_{1}^{2}+{e}_{2}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是运用椭圆和双曲线的定义得到两个曲线的参数之间的关系，属于中档题．