Question

11．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC=AC=2，把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点E，F分别为棱PC，CD的中点．
（Ⅰ）求证：平面OEF∥平面APD；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面POF；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点M，使得M到点P，O，C，F四点距离相等？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明OE∥PA，OF∥AD，利用平面与平面平行的判定定理证明平面OEF∥平面PDA．
（Ⅱ）证明OF⊥CD，PO⊥CD，利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面POF．
（Ⅲ）存在，通过就是$EF=\frac{1}{2}PC$，$EP=EC=OE=\frac{1}{2}PC$，即可证明点M到四个点P，O，C，F的距离相等．

解答 证明：（Ⅰ）因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AC
因为AB=BC，所以O是AC中点，
所以OE∥PA，同理OF∥AD，又OE∩OF=O，PA∩AD=A
所以平面OEF∥平面PDA
（Ⅱ）因为OF∥AD，AD⊥CD，所以OF⊥CD
又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC
所以PO⊥CD
又OF∩PO=O
所以CD⊥平面POF
（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可
因为CD⊥平面POF，PF?平面POF
所以CD⊥PF
又E为PC中点，所以$EF=\frac{1}{2}PC$
同理，在直角三角形POC中，$EP=EC=OE=\frac{1}{2}PC$，
所以点M到四个点P，O，C，F的距离相等．

点评 本题考查空间距离公式的应用，直线与平面垂直以及平面与平面垂直与平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．