练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    1．已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的准线过椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点，抛物线与椭圆的一个交点P到椭圆两焦点的距离之和为4，直线l1：y=x+$\frac{{b}^{2}}{3}$与抛物线仅有一个交点．
    （1）求抛物线Γ的方程以及椭圆E的方程；
    （2）已知过原点O且斜率为k（k＞0）的直线l2与抛物线Γ交于O、A两不同点，与椭圆交于B、C两不同点，其中B、C两点的纵坐标分别满足yB＜0，yC＞0，若$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{CA}$，求直线l2的方程．

    分析 （1）求得抛物线的准线方程，由题意可得p=2c，再由椭圆的定义可得a=2，联立直线和抛物线方程，运用判别式为0，可得p，b的方程，解方程组，可得a=2，p=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，进而得到抛物线和椭圆方程；
    （2）设出直线方程，联立抛物线和椭圆方程，求得交点的坐标，再由向量共线的坐标表示，解方程可得k，进而得到所求直线方程．

    解答 解：（1）y2=2px（p＞0）的准线为x=-$\frac{p}{2}$，
    由题意可得-$\frac{p}{2}$=-c，①
    交点P到椭圆两焦点的距离之和为4，即为2a=4，
    b2+c2=4，②
    y=x+$\frac{{b}^{2}}{3}$与抛物线y2=2px联立，可得$\frac{1}{2p}$y2-y+$\frac{{b}^{2}}{3}$=0，
    即有判别式1-$\frac{2{b}^{2}}{3p}$=0，③
    由①②③解得p=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，a=2．
    则抛物线Γ的方程为y2=4x，椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
    （2）联立直线l2：y=kx和抛物线方程y2=4x，可得A（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
    联立直线l2：y=kx和椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
    可得B（-$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，-k•$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$），C（$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，k•$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$），
    由$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{CA}$，可得$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，
    解得k=$\frac{\sqrt{6+3\sqrt{13}}}{3}$，
    即有直线l2的方程为y=$\frac{\sqrt{6+3\sqrt{13}}}{3}$x．

    点评 本题考查椭圆和抛物线的定义、方程和性质，考查直线和椭圆、抛物线的位置关系，考查向量共线的坐标表示，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    8．设F1，F2是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2ac，则此双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    9．已知曲线C：y=4ax3+x，过点Q（0，-1）作C的切线l，切点为P．
    （1）求证：不论a怎样变化．点P总-在一条定直线上；
    （2）若a＞0，过点P且与1垂直的直线与x轴交于点T，求OT的最小值（0为坐标原点）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AD的中点，则EF与B1C所成的角等于（　　）
    A．45°B．30°C．90°D．60°

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    16．单位正方体ABCD-A1B1C1O在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点M（a，a，0），N（0，b，1），其中0≤a≤1，0≤b≤1．设由M，N，O三点确定的平面截该正方体的截面为E，那么（　　）
    A．对任意点M，存在点N使截面E为三角形
    B．对任意点M，存在点N使截面E为正方形
    C．对任意点M和N，截面E都是梯形
    D．对任意点N，存在点M使得截面E为矩形

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    6．已知函数f（x）=（-2ax+a+1）ex（a为常数）
    （1）若a≥0，试论函数f（x）的单调性；
    （2）若0≤a≤1，求函数f（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）•sin（x+$\frac{7π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin2x+sin（π+x）cos（x+3π）．
    （1）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；
    （2）若B为△ABC的内角，且满足f（$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{3}$，求∠B．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-lnx．
    （1）求函数f（x）的单调区间；
    （2）求证：x＞1时，$\frac{1}{2}$x2+lnx＜$\frac{2}{3}$x3．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    11．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC=AC=2，把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点E，F分别为棱PC，CD的中点．
    （Ⅰ）求证：平面OEF∥平面APD；
    （Ⅱ）求证：CD⊥平面POF；
    （Ⅲ）在棱PC上是否存在一点M，使得M到点P，O，C，F四点距离相等？请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案