Question

6．已知函数f（x）=（-2ax+a+1）e^x（a为常数）
（1）若a≥0，试论函数f（x）的单调性；
（2）若0≤a≤1，求函数f（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求导数可得f′（x）=（-2ax-a+1）e^x，当a=0时，f′（x）=e^x＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a＞0时，解导数不等式可得单调区间；
（2）当a=0时，最大值和最小值分别为f（1）和f（0）；当0≤$\frac{-a+1}{2a}$≤1和当$\frac{-a+1}{2a}$＞时，分类讨论可得最值．

解答 解：（1）∵f（x）=（-2ax+a+1）e^x，
∴f′（x）=-2ae^x+（-2ax+a+1）e^x=（-2ax-a+1）e^x，
当a=0时，f′（x）=e^x＞0，函数f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，令f′（x）=（-2ax-a+1）e^x＞0可解得x＜$\frac{-a+1}{2a}$，
∴函数f（x）在（-∞，$\frac{-a+1}{2a}$）上单调递增，
同理令f′（x）=（-2ax-a+1）e^x＜0可解得x＞$\frac{-a+1}{2a}$，
∴函数f（x）在（$\frac{-a+1}{2a}$，+∞）单调递减；
（2）由（1）知当a=0时，函数f（x）在R上单调递增，
函数f（x）在[0，1]上的最大值和最小值分别为f（1）=e，f（0）=1，
当0≤$\frac{-a+1}{2a}$≤1即$\frac{1}{3}$≤a≤1时，则当x=$\frac{-a+1}{2a}$时，函数取最小值2a•${e}^{\frac{-a+1}{2a}}$，
计算可得f（0）=a+1，f（1）=（1-a）e，
令a+1＞（1-a）e可解得a＞$\frac{e-1}{e+1}$，此时最大值为f（0）=a+1，
当a＜$\frac{e-1}{e+1}$时，最大值为f（1）=（1-a）e，
当a=$\frac{e-1}{e+1}$时，最大值为f（1）=（1-a）e=f（0）=a+1；
当$\frac{-a+1}{2a}$＞1即0＜a＜$\frac{1}{3}$时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，
∴最大值为f（0）=a+1，最小值为f（1）=（1-a）e

点评 本题考查导数法研究函数在闭区间的最值，涉及分类讨论的思想和不等式比较大小，属难题．