Question

13．已知函数f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1处取得极大值10，若g（x）=ax³-2bx²在区间[t，t+1]上单调递增，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-2，-1）
• B． [-2，-1]
• C． [-2，0]
• D． [-3，-1]

Answer 1

分析 由于f′（x）=3x²+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，于是有b=-3-2a，代入f（1）=10即可求得a，b，先求出函数的单调区间，结合函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递增，得到不等式组，解出即可．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，
∴a²+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
当a=-2，b=1时，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
当$\frac{1}{3}$＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=-6，b=9时，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
∴g（x）=-6x³-18x²在[t，t+1]上单调递增，
∴g′（x）=-18x²-36x＞0，即x（x+2）＜0，即-2＜x＜0在[t，t+1]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞-2}\\{t+1＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜t＜-1，
故t的取值范围为（-2，-1），
故选：A．

点评 本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x²+2ax+b，利用f′（1）=0，f（1）=10求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．