Question

已知数列{a_n}成等比数列，且a_n＞0．
（1）若a₂-a₁=8，a₃=m．
①当m=48时，求数列{a_n}的通项公式；
②若数列 {a_n}是唯一的，求m的值；
（2）若a_2k+a_2k-1+…+a_k+1-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，k∈N^*，求a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，①当m=48时，由a₂-a₁=8，a₃=48 可得首项和公比，即得数列{a_n}的通项公式．
②若数列 {a_n}是唯一的，则

a1q-a1=8 a1q2=m

有唯一的正数解，即方程8q²-mq+m=0 有唯一的正数解，由△=0 可得m的值，并求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由条件可得 q^k（a_k+a_k-1+…+a₁）-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，q＞1，要求的式子可化为 a₁•q^2k•

8

a1(qk-1)

=

8•q2k

(qk-1)

=8[（q^k-1）+2+

1

qk-1

]，利用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得q＞0．a₁ 
①当m=48时，由a₂-a₁=8，a₃=48 可得

a1q-a1=8 a1q2=48

，解得

a1=8(2- 3 ) q =3+ 3

，或

a1=8(2+ 3 ) q =3- 3

．
数列{a_n}的通项公式为 a_n=8（2-

3

）(3+

3

)n-1，或  a_n=8（2+

3

） (3-

3

)n-1．
②若数列 {a_n}是唯一的，则

a1q-a1=8 a1q2=m

有唯一的正数解，即方程8q²-mq+m=0 有唯一的正数解，由△=m²-32m=0 可得m=32，
此时，q=2，a_n=2ⁿ⁺²．
（2）若a_2k+a_2k-1+…+a_k+1-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，k∈N^*，则有 q^k（a_k+a_k-1+…+a₁）-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，q＞1，
即 （q^k-1）•（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，即 a₁（q^k-1）•（ q^k-1+q^k-2+q^k-3+…q+1）=8．
∴a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k =a₁•q^2k•（ q^k-1+q^k-2+q^k-3+…q+1）=a₁•q^2k•

8

a1(qk-1)

=

8•q2k

(qk-1)

 
=

8[(qk-1)2+2(qk-1)+1]

(qk-1)

=8[（q^k-1）+2+

1

qk-1

]≥8（2+2）=32，当且仅当 q^k-1=

1

qk-1

 时，等号成立，
故a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值为 32．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．