Question

已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点所组成的四边形是面积为2的正方形，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于点A，B，当△OAB面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得出关于a，b的方程组，解之即得a，b的值，从而写出所求椭圆的标准方程即可；
（2）根据题意可知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
（1）由已知得

b=c 1 2 ×2b×2c=2 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b2=1 c2=1

∴所求椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1
（2）根据题意可知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由方程组

y=kx+2 x2 2 +y2=1

消去y得关于x得：方程（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由直线l与椭圆相交于A，B两点，
则有△＞0?64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，解得k＞

6

2

或k＜

- 6

2

由韦达定理得：

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1x2= 6 1+2k2

故|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2]

=

16k2-24

2k2+1

•

1+k2

又因为原点O到直线l的距离，d=

k×0-0+2

1+k2

=

2

1+k2

故S△AOB=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 2k2-3

1+2k2

令m=

2k2-3

（m＞0），则2k²=m²+3，所以S=

2 2 m

m2+4

≤

2 2 m

2 4m2

=

2

2

当且仅当m=2时，Smax=

2

2

，此时k=±

14

2

，满足题意，
∴直线l的方程为

14

x-2y+4=0，或

14

x+2y-4=0．

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，当直线与圆锥曲线相交时   涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化   同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．