Question

8．已知cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{11}{14}$，α，β均是锐角，求cos（2α-β）的值．

Answer 1

分析 由α，β为锐角，根据cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{11}{14}$，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和sin（α-β）的值，然后把2α-β变为（α-β）+α，利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答 解：因为α，β均为锐角，cosα=$\frac{1}{7}$，所以sinα=$\sqrt{1-（\frac{1}{7}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
由cos（α-β）=$\frac{11}{14}$，得到sin（α-β）=±$\sqrt{1-（\frac{11}{14}）^{2}}$=$±\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
则cos（2α-β）=cos[（α-β）+α]=cos（α-β）cosα-sin（α-β）sinα=$\frac{11}{14}×\frac{1}{7}±\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{11±60}{98}$，
∴cos（2α-β）=$\frac{71}{98}$，或cos（2α-β）=$-\frac{49}{98}$=-$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值．本题的突破点是角度的变换即2α-β=（α-β）+α．