Question

18．若数列{a_n}满足$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，求a_n．

Answer 1

分析 通过$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{n}{2}$与$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$+$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（n+1）²+$\frac{n+1}{2}$作差、计算可知a_n+1=（n+1）•3ⁿ⁺¹，进而可得结论．

解答 解：∵$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$+$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（n+1）²+$\frac{n+1}{2}$，
两式相减得：$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（n+1）²+$\frac{n+1}{2}$-（$\frac{1}{2}$n²+$\frac{n}{2}$）=n+1，
∴a_n+1=（n+1）•3ⁿ⁺¹，
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，即a₁=3满足上式，
∴a_n=n•3ⁿ．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．