Question

6．关于x的方程cos2x+sin2x=2k在（0，$\frac{π}{2}$）上有两个不同的实数解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=2k，问题转化为函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，由三角函数知识作出图象可得．

解答 解：令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=2k，
则f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$]，
函数f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）内的图象如图所示：

∴要使方程sin2x+cos2x=2k在区间（0，$\frac{π}{2}$）上有两个不同的实数解，
则函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，
则2k的取值范围为（1，$\sqrt{2}$）．
∴k的取值范围为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，涉及转化思想方法和数形结合思想，属中档题．