Question

16．已知函数f（x）=|x+1|-|x+a|（a≠1）为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调递增区间和值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=|x+1|-|x+a|（a≠1）为奇函数，满足f（-x）=-f（x），结合绝对值的几何意义，可得实数a的值；
（2）作出函数f（x）的图象，数形结合可得函数的单调递增区间和值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x+1|-|x+a|（a≠1）为奇函数．
∴f（-x）=|-x+1|-|-x+a|=|x-1|-|x-a|=-f（x）=|x+a|-|x+1|恒成立，
解得a=-1，
（2）函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：函数f（x）的单调递增区间为[-1，1]，值域为[-2，2]

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调区间和函数值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．