Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，…（1分）
当单调递减，
当单调递增，…（3分）
①，没有最小值； …（4分）
②，即时，；…（5分）
③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt…（6分）
所以…（7分）
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，则，…（9分）
设，
则，…（10分）
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∵g（x）=-x²+ax-3．所以a≤h（x）_min=4；…（13分）
分析：（1）f'（x）=lnx+1，当单调递减，当单调递增，由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．
（2）由2xlnx≥-x²+ax-3，知，设，则，由此入手能够求出实数a的取值范围．
点评：本题考查求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．