Question

(20) 如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.

（I）求异面直线与所成的角；

（II）求平面与平面所成的二面角；

（III）求点到平面的距离.

Answer 1

20．解法一：

在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图。

由已知可得。

又平面，从而与平面所成的角为，

又，，，

从而易得

（I）∵

      ∴=

即异面直线所成的角为

（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，

由

取

∴

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为

（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，所以距离

=

所以点到平面的距离为

解法二：    (Ⅰ)连结B₁D₁，过F作B₁D₁的垂线，垂足为K，

         ∵BB₁与两底面ABCD，A₁B₁C₁D₁都垂直，

         ∴

          又

因此  FK∥AE.

∴∠BFK 为异面直线BF与AE所成的角。

连结BK，由FK⊥面BDDB得FK⊥BK。

从而   △BKF为Rt△

由得

FK===

又        BF=

∴cos∠BFK=。

∴异面直线BF与AE所成的角为arcos。

（Ⅱ）由于DA⊥面AA₁B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG。

 ∴∠AGD即为平面BDF与平面AA₁B所成二面角的平面角

   且∠DAG=90°，在平面AA₁B中，延长BF与AA₁交于点S。

∵F为A₁B₁的中点，A₁FAB。

∴A₁、F分别为SA、SB的中点。

即SA=2A₁A=2=AB。

∴Rt△BAS为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即F、G重合，

易得AG=AF=SB=，在Rt△BAS中，AD=，

∴tan∠AGD=

∴∠AGD=arctan

即平面BDF与平面AA₁B所成二面角（锐角）的大小为arctan

（Ⅲ）由(Ⅱ)知平面AFD是平面BDF与平面AA₁B所成二面角的平面角所在的平面，

∴面AFD⊥面BDF。

在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离，

由  AH·DF=AD·AF，得

所以点A到平面BDF的距离为 。