Question

(20)

如图，已知长方体直线与平面

所成的角为，垂直于，为的中点.

（I）求异面直线与所成的角；

（II）求平面与平面所成的二面角（锐角）的大小；

（III）求点到平面的距离.

Answer 1

20、

解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图。

由已知可得。

又平面，从而与平面所成的角为，

又，，。

从而易得   …………

=。

即异面直线所成的角为。

（II）易知平面的一个法向量m=(0,1,0).

设n=(x，y，z)是平面的一个法向量，

，

即n=(1,,1),…………………………

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为

（III）点到平面的距离，即在平面的法向量n上的投影的绝对值，

所以距离

所以点到平面的距离为。

解法二：（I）连结，过作的垂线，垂足为。

∵与两底面都垂直，

∴

又平面

因此∥。

∴为异面直线与所成的角。……………………

连结，由FK⊥BDD₁B₁得，

从而为Rt△。

在和中，

由得

，

又，

∴异面直线所成的角为。……………………

（II）由于，由作的垂线，垂足为，连结，由三垂线定理知。

∴即为平面与平面所成二面角，且，在平面中，延长与交于点。

∵为的中点，∥且，

∴分别为的中点，

即，

∴为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点，即重合。

易得。在中，，

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为。

（III）由（II）知平面是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面，

∴面面。

在中，由作于，则即为点到平面的距离。

由，得

。

所以点到平面的距离为。