Question

（2012•江苏一模）已知向量

a

=(4，5cosα)，

b

=(3，-4tanα)，α∈(0，

π

2

)，

a

⊥

b

，求：
（1）|

a

+

b

|
（2）cos(α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：由两向量的坐标，以及两向量垂直时数量积为0，列出关系式，利用同角三角函数间的基本关系化简后，求出sinα的值，由α的范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，
（1）由两向量的坐标求出

a

+

b

的坐标表示，把cosα和tanα的值代入即可求出|

a

+

b

|的值；
（2）把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．

解答：解：∵

a

=(4，5cosα)，

b

=(3，-4tanα)，

a

⊥

b

，
∴12-20cosαtanα=12-20sinα=0，
∴sinα=

3

5

，又α∈（0，

π

2

），
∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

，tanα=

3

4

，
（1）∵

a

=(4，4)，

b

=(3，-3)，
∴

a

+

b

=（7，1），
则|

a

+

b

|=

72+12

=

50

=5

2

；
（2）∵sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，
则cos（α+

π

4

）=cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

=

2

2

（

4

5

-

3

5

）=

2

10

．

点评：此题考查了三角函数的化简求值，向量模的计算，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．