Question

（2011•成都模拟）已知等差数列{a_n²}中，首项a₁²=1，公差d=1，a_n＞0，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

an+1+an

，数列{b_n}的前n项和为T_n；
①求T₁₂₀；
②求证：当n＞3时，2

n

2

＞

2

T_n+

2

．

Answer 1

分析：（1）由等差数列{a_n²}的首项a₁²和公差d，利用等差数列的通项公式求出{a_n²}的通项公式，然后根据a_n大于0，开方可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）求得{a_n}的通项公式代入b_n=

1

an+1+an

中，分母有理化化简后即可得到数列{b_n}的通项公式，然后列举出数列{b_n}的前120项的和，抵消化简可得值．

解答：解：（1）∵{a_n²}是等差数列，等差d=1，首项a₁²=1，
∴a_n²=1+（n-1）×1=n，
又a_n＞0，
∴a_n=

n

；
（2）①∵b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，
∴T₁₂₀=（

2

-1+（

3

-

2

）+…+（

121

-

120

）=

121

-1=10．
②∵Tn=

n+1

-1，要证当n＞3时，2

n

2

＞

2

T_n+

2

即证2

n

2

＞

2

•

n+1

，即证2ⁿ＞2n+2，
因为n＞3时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

n-1 n

+

C

n n

=2n+2，
∴当n＞3时，2

n

2

＞

2

T_n+

2

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会进行数列的求和运算，是一道中档题．