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    某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
    ①y与2a-x和x-a的乘积成正比；②x=
    3a2
    时，y=a2    ；③y＞0．
    （I）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
    （II）求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．
    分析：（I）设y=k（2a-x）（x-a），利用当x=
    3a
    2
    时，y=a2    ，可求k=4，从而可得函数表达式，即可求得y=f（x）的定义域；
    （II）确定每万元技术改造投入函数解析式，利用基本不等式，即可求得结论．
    解答：解：（I）设y=k（2a-x）（x-a），
    因为当x=
    3a
    2
    时，y=a2    ，所以k=4
    所以y=4（2a-x）（x-a）
    因为4（2a-x）（x-a）＞0，所以a＜x＜2a
    所以定义域为（a，2a）；
    （II）
    y
    x
    =-4（x+
    2a2
    x
    ）+12a≤-4•2
    		x•
    2a2
    x
    +12a=(12-8
    		2
    )a
    当且仅当x=
    2a2
    x
    ，即x=
    		2
    a时，每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大．
    点评：本题考查函数解析式的确定，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
    ①y与a-x和x的乘积成正比；②x=
    a
    2
    时    y=a2；
    ③0≤
    x
    2(a-x)
    ≤t    其中t为常数，且t∈[0，1]．
    （1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
    （2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产的附加值．改造需要投入，假设附加值y（万元）与技术改造投入x（万元）之间的关系满足：①y与（a-x）和x2的乘积成正比；②当x=
    a
    2
    时，y=a3；③0≤
    x
    2(a-x)
    ≤t    ，其中常数t∈（0，2]．
    （1）设y=f（x），求函数f（x）的解析式与定义域；
    （2）求出附加值y的最大值，并求此时的技术改造投入x．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年福建省福州三中高三（上）期中数学试卷（解析版） 题型：解答题

    某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
    ①y与2a-x和x-a的乘积成正比；②；③y＞0．
    （I）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
    （II）求每万元技术改造投入所获得的平均附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．

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    科目：高中数学 来源：2012年湖南省岳阳市云溪一中高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
    ①y与a-x和x的乘积成正比；②y=a2；
    ③其中t为常数，且t∈[0，1]．
    （1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
    （2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

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