Question

已知直线y=-2x+a（a＞0）与圆x²+y²=9交于A、B两点，（O是坐标原点），若

OA

•

OB

=

9

2

，则实数a的值是

3 5

2

．

Answer 1

分析：把直线y=-2x+a（a＞0）代入圆x²+y²=9，得5x²-4ax+a²-9=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=

a2-9

5

，y₁y₂=

4a2-36

5

-

8

5

a2+a²，由此利用

OA

•

OB

=

9

2

，能求出a．

解答：解：把直线y=-2x+a（a＞0）代入圆x²+y²=9，
得x²+（-2x+a）²=9，
整理，得5x²-4ax+a²-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4

5

a，x₁x₂=

a2-9

5

，
∴y₁y₂=（-2x₁+a）（-2x₂+a）
=4x₁x₂-2a（x₁+x₂）+a²
=

4a2-36

5

-

8

5

a2+a²，
∵

OA

•

OB

=

9

2

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

a2-9

5

+

4a2-36

5

-

8

5

a2+a 2
=

2a2-45

5

=

9

2

，
解得a=±

3 5

2

．
∵a＞0，∴a=

3 5

2

．
故答案为：

3 5

2

．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，解题时要认真审题，注意向量垂直、韦达定理、圆等基本知识的合理运用．