Question

已知直线y=2x上一点P的横坐标为a，A（-1，1），B（3，3），则使向量

PA

与

PB

的夹角为钝角的充要条件是

 

．

Answer 1

分析：由题意知P点的坐标为（a，2a），进而可得

PA

=（-1-a，1-2a），

PB

=（3-a，3-2a）．
由向量

PA

与

PB

的夹角为钝角，得

PA

•

PB

＜0，可得0＜a＜2，而当a=1时，

PA

，

PB

反向共线，其夹角为π，则a≠1

解答：解：由题意知P点的坐标为（a，2a），

PA

=（-1-a，1-2a），

PB

=（3-a，3-2a）．
由向量

PA

与

PB

的夹角为钝角，得：

PA

•

PB

=（-1-a，1-2a）•（3-a，3-2a）
=（-1-a）（3-a）+（1-2a）（3-2a）=5a²-10a＜0，
∴0＜a＜2，但是当a=1时，

PA

，

PB

反向共线，其夹角为π，
则向量

PA

与

PB

的夹角为钝角的充要条件是0＜a＜2且a≠1．
故答案为：0＜a＜2且a≠1．

点评：本题主要考查了向量的数量积的定义在求夹角范围中的应用，此类问题容易出错的地方是由向量

PA

与

PB

的夹角为钝角只得

PA

•

PB

＜0，而漏掉对180°的排除（夹角为锐角的同理要排除0°）