Question

已知cos(

π

4

-α)=

3

5

，sin(

5π

4

+β)=-

12

13

，α∈(

π

4

，

3π

4

)，β∈(0，

π

4

)，求sin（α+β）的值．
已知

π

4

＜α＜

3π

4

，0＜β＜

π

4

，cos（

π

4

-α）=

3

5

，sin（

3π

4

+β）=

5

13

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：角的变换是三角函数学习中较困难的，解本题是抓住角的关系，把角借助于90°和180°这些特殊角进行变换，解题过程中要用诱导公式帮助简化过程．

解答：解：（1）∵

3π

4

+β-（

π

4

-α）=

π

2

+（α+β），
∴sin（α+β）=-cos[

π

2

+（α+β）]=-cos[（

3π

4

+β）-（

π

4

-α）]
=-[cos（

3π

4

+β）cos（

π

4

-α）+sin（

3π

4

+β）sin（

π

4

-α）]
∵

π

4

＜α＜

3π

4

?-

3π

4

＜-α＜-

π

4

?-

π

2

＜

π

4

-α＜0，
0＜β＜

π

4

?

3π

4

＜

3π

4

+β＜π．
∴sin（

π

4

-α）=-

1-cos2( π 4 -α)

=-

1-( 3 5 )2

=-

4

5

，
cos（

3π

4

+β）=-

1-sin2( 3π 4 -β)

=-

1-( 5 13 )2

=-

12

13

，
（2）由（1）知sin（α+β）=-[-

12

13

×

3

5

+

5

13

×（-

4

5

）]=

56

65

．

点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值或求和这个角有关的角的三角函数值，一般需用三个基本关系式及其变式，过程中会用到角的变换，通过恒等变形求解．