【题目】设个质数
构成公差为
的等差数列,且
.求证
(1)当是质数时,
;
(2)当时,
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)因为 ,
,所以,
都是大于
的质数.因此,每一个
都不能被
整除.
而被
除时只能取
个不同的余数,根据抽屉原理,至少有两个数被
除的余数相同.设这两个数为
、
.于是,
能被
整除.
但,
为质数,所以,
.
因此,.
(2)设这15个质数构成公差为
的等差数列.由于这15个质数必都是奇数,所以,公差
为偶数,即
.
由其中的,
,
这3个质数成等差数列,
,根据(1)中的结论,得
.
由,
,
,
,
这5个质数成等差数列,
,根据(1)中的结论,得
.
由,
和
且
,可得
.
因此,由知
.但
为质数,所以,
.
于是,由这7个质数成等差数列,
,根据(1)中的结论,得
.
同理,由这11个质数成等差数列,
, 根据(1)中的结论,得
.
由这13个质数成等差数列,
,根据(1)中的结论,得
.
因为,所以,
,
即.
故.
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【题目】在直角坐标系xoy中,曲线C1: (t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,曲线C3:ρ=2
cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C2与C1相交于点A,C3与C1相交于点B,求|AB|的最大值.
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【题目】已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,记f(x)=g(|x|)。
(1)求实数a,b的值;
(2)若不等式f(2k)>1成立,求实数k的取值范围;
(3)定义在[p,q]上的函数(x),设p=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=q,x1,x2,…,xn-l将区间[p,q]任意划分成n个小区间,如果存在一个常数M>0,使得和式
恒成立,则称函数
(x)为在[p,q]上的有界变差函数。试判断函数f(x)是否为在[0,4]上的有界变差函数?若是,求M的最小值;若不是,请说明理由。
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【题目】已知椭圆 的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1 , k2 , 且k1+k2=8,证明:直线AB过定点( ).
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【题目】如图,直线AB经过⊙O上一点C,⊙O的半径为3,△AOB是等腰三角形,且C是AB中点,⊙O交直线OB于E、D.
(1)证明:直线AB与⊙O相切;
(2)若∠CED的正切值为 ,求OA的长.
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【题目】设全集U=R,集合A={x|7﹣6x≤0},集合B={x|y=lg(x+2)},则(UA)∩B等于( )
A.(﹣2, )
B.( ,+∞)
C.[﹣2, )
D.(﹣2,﹣ )
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形为矩形,平面
,
//
,
,
,点
点P在棱
上.
(1)求证: ;
(2)若是
的中点,求异面直线
与
所成角的余弦值;
(3)是否存在正实数,使得
,且满足二面角
的余弦值为
,若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】某小学四年级男同学有45名,女同学有30名,老师按照分层抽样的方法组建了一个5人的课外兴趣小组.
(Ⅰ)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.
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