Question

（2012•昌平区二模）已知函数f(x)=x-

a

x

-(a+1)lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a＞1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定f （x）的定义域，求导函数，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）在[1，e]上的最小值为-2，即可求a的值．

解答：解：（Ⅰ）f （x）的定义域为{x|x＞0}…（1分）．
求导函数可得f′(x)=1+

a

x2

-

a+1

x

=

x2+a-(a+1)x

x2

=

(x-1)(x-a)

x2

…（3分）
a＞1时，令f'（x）＞0，即

(x-1)(x-a)

x2

＞0，∴x＜1或x＞a，
∴f（x）的增区间为（0，1），（a，+∞）…（4分）
令f'（x）＜0，即

(x-1)(x-a)

x2

＜0，∴1＜x＜a，
∴f（x）的减区间为（1，a）…（5分）
（Ⅱ）①当a≤1时，f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，
∴f（x）在[1，e]恒为增函数．…（6分）
∴[f（x）]_min=f（1）=1-a=-2，得a=3（舍去）．…（7分）
②当1＜a＜e时，令f'（x）=0，得x=a或1．
当1＜x＜a时，f'（x）＜0∴f（x）在（1，a）上为减函数；
当a＜x＜e时，f'（x）＞0∴f（x）在（a，e）上为增函数；
∴[f（x）]_min=f（a）=a-1-（a+1）lna=-2，得a=e（舍）…（10分）
③当a＞e时，f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]恒为减函数．
∴[f(x)]min=f(e)=e-

a

e

-(a+1)=-2，得 a=e．…（12分）
综上可知 a=e．…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确分类是关键．