Question

已知抛物线过点．

（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；

（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积．

 

Answer 1

（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先由抛物线过点得到，进而解出的值，这样即可确定该抛物线的方程，进而再根据抛物线的几何性质得到准线方程；（2）由（1）中抛物线的方程先确定，进而根据点斜式可写出直线的方程，设点，联立直线与抛物线的方程，消去得到，进而根据二次方程根与系数的关系得到，进而可根据弦长计算公式计算出弦长，然后由点到直线的距离公式算出原点到直线的距离，进而可求出的面积.

（1）根据抛物线过点可得，解得

从而抛物线的方程为，准线方程为 5分

（2）抛物线焦点坐标为，所以直线 6分

设点

联立 得：，即 8分

则由韦达定理有： 9分

则弦长 11分

而原点到直线的距离 12分

故 13分.

考点：1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.点到直线的距离公式.