Question

已知数列{a_n} 2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），它的前n项和为S_n 且a₅=5，S₇=28 
（1）求数列{

1

Sn

}前n项的和T_n
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，b n+1=bn+qan(q＞0)求数列{b_n}的通项公式，并比较b_n•b_n+2，b n+12的大小．

Answer 1

分析：（1）利用2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），知{a_n}是等差数列，利用条件求出数列的通项与前n项和，再利用裂项法求和，即可得到结论；
（2）确定数列{b_n}的通项，再作差，即可得到结论．

解答：解：（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），知{a_n}是等差数列，
∵a₅=5，S₇=28 
∴a₁+4d=5，7a₁+21d=28
∴a₁=1，d=1，∴a_n=n…（3分），
∴Sn=

n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．…（6分）
（2）∵bn+1-bn=qn，
∴当n≥2时，bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+q+…+qn-1=

n，q=1 1-qn 1-q ，q≠1

当n=1时，b₁=1满足上式，故bn=

n，q=1 1-qn 1-q ，q≠1

…（9分）．
当q=1时，bnbn+2-bn+12=n（n+2）-（n+1）²=-1＜0，…（10分）
当q≠1时，bnbn+2-bn+12=

1-qn

1-q

•

1-qn+2

1-q

-(

1-qn+1

1-q

)2=-qⁿ＜0，
所以bnbn+2＜bn+12…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．