Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，n∈N⁺，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和S_n，且满足an+1=

2

Sn+1Sn-2

．
（Ⅰ）求{S_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_k}是{S_n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
（1）求b₃；
（2）存在N（N∈N⁺），当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项，求N的范围．

Answer 1

分析：（I）根据a_n+1=S_n+1-S_n，代入已知等式并化简整理可得（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，因此数列{（S_n-1）²}构成公差为2的等差数列，其首项为（S₁-1）²=1，结合等差数列的通项公式算出（S_n-1）²的表达式，从而求出{S_n}的通项公式；
（II）（1）根据（I）的结论得S_n=1+

2n-1

，找出使

2n-1

为正整数的n值，从而得到当n=1、5、13时S₁=2、S₅=4、S₁₃=6为{S_n}的前3个整数项，由此即可得到b₃=S₁₃=6；
（2）根据整数的整除性理论，可得若S_n=1+

2n-1

∈N^*，必定有

2n-1

=2k-1∈N^*．由此算出n=2k²-2k+1，其中k是正整数，进而解出当k=20时，n=761，当k=21时，n=841．由此即可推算出：正整数N满足761≤N＜841，当n≤N时，在{S_n}中数列{b_k}有且只有20项，可得N的范围．

解答：解：（I）∵a_n+1=S_n+1-S_n
∴

2

Sn+1Sn-2

=S_n+1-S_n，化简得（S_n+1）²-（S_n）²-2（S_n+1-S_n）=2
整理，得（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2
∴数列{（S_n-1）²}构成首项为（S₁-1）²=1，公差d=2的等差数列
因此，（S_n-1）²=2n-1，可得S_n=1+

2n-1

（II）（1）由（I）的结论，S_n=1+

2n-1

∴欲使S_n为整数，则必须

2n-1

∈N^*，可得n=

1

2

（k²+1）（k∈N^*）
因此，分别取k=1、3、5，得n=1、5、13，可得S₁=2，S₅=4，S₁₃=6
∴结合数列{b_k}的定义，可得b₁=S₁=2，b₂=S₅=4，b₃=S₁₃=6；
（2）∵2n-1是一个奇数，
∴若S_n=1+

2n-1

为整数，必定有

2n-1

=2k-1，其中k是正整数
由此可得2n-1=（2k-1）²，化简得n=2k²-2k+1
∵当k=20时，n=2×20²-2×20+1=761；当k=21时，n=2×21²-2×21+1=841
∴存在N满足761≤N＜841，当n≤N时，在{S_n}中数列{b_k}有且只有20项．
即所求N的取值范围为{N|761≤N＜841且N∈N⁺}．

点评：本题给出数列关于a_n+1、S_n+1和S_n的式子，求数列{S_n}的通项公式并依此讨论{S_n}的整数项的问题．着重考查了等差数列、等比的通项公式，数列的前n项和与通项的关系，考查了整数的整除性的理解和二次不等式的解法等知识，属于中档题．