Question

（2013•广州一模）已知a＞0，a≠1，函数f(x)=

ax(x≤1) -x+a(x＞1)

若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大

5

2

，则a的值为

1

2

或

7

2

．

Answer 1

分析：分0＜a＜1和a＞1时两种情况加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，并结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，解之即得满足条件的实数a的值．

解答：解：①当0＜a＜1时，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是减函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（0）=a⁰=1＞-1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；
而f（2）=-2+a＜-1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=-2+a
因此，-2+a+

5

2

=1，解之得a=

1

2

∈（0，1）符合题意；
②当a＞1时，可得
在[0，1]上，f（x）=a^x是增函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数
∵f（1）=a＞-1+a，∴函数的最大值为f（1）=a
而f（2）=-2+a，f（0）=a⁰=1，可得
i）当a∈（1，3]时，-2+a＜1，得f（2）=-2+a为函数的最小值，
因此，-2+a+

5

2

=a矛盾，找不出a的值．
ii）当a∈（3，+∞）时，-2+a＞1，得f（0）=1为函数的最小值，
因此，1+

5

2

=a，解之得a=

7

2

∈（3，+∞），符合题意．
综上所述，实数a的值为

1

2

或

7

2

故答案为：

1

2

或

7

2

点评：本题给出含有字母a的分段函数，在已知函数的最大最小值之差的情况下求参数a的值，着重考查了指数函数、一次函数的单调性和分段函数的理解等知识，考查了转化化归和分类讨论的数学思想，属于中档题．