Question

6．已知函数f（x）=ax²-x-3，
（1）求a的范围，使y=f（x）在[-2，2]上不具单调性；
（2）当$a=\frac{1}{2}$时，函数f（x）在闭区间[t，t+1]上的最大值记为g（t），求g（t）的函数表达式；
（3）第（2）题的函数g（t）是否有最值，若有，请求出；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）有不单调可知对称轴在（-2，2）之间，列出不等式解出；
（2）对f（x）在[t，t+1]上的单调性进行讨论，分别求出g（t）；
（3）分段讨论g（t）的单调性与最值．

解答 解：（1）∵y=f（x）在[-2，2]上不具单调性，
∴-2$＜\frac{1}{2a}$＜2，解得a＞$\frac{1}{4}\\;\$或a$＜-\frac{1}{4}$．
（2）当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-x-3=\frac{1}{2}{（x-1）^2}-\frac{7}{2}$，
当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，∴g（t）=f（t+1）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{2}$．
当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，∴g（t）=f（t）=$\frac{1}{2}$t²-t-3．
当t＜1＜t+1时，若t+1-1≥1-t，即$\frac{1}{2}$≤t＜1，g（t）=f（t+1）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{2}$．
若t+1-1＜1-t，即0＜t＜$\frac{1}{2}$时，g（t）=f（t）=$\frac{1}{2}$t²-t-3．
综上，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}-t-3，t＜\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{7}{2}，t≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
（3）当t$＜\frac{1}{2}$时，g（t）=$\frac{1}{2}$（t-1）²-$\frac{7}{2}$，∴g（t）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是减函数，故g（t）＞g（$\frac{1}{2}$）；
当t$≥\frac{1}{2}$时，g（t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{7}{2}$，∴g（t）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，∴g（t）≥g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{27}{8}$，
综上：g（t）有最小值-$\frac{27}{8}$，无最大值．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值，分类讨论思想是解决二次函数常用的方法．