Question

16．已知圆x²+y²=4，过点A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程为（　　）

• A． （x-1）²+y²=4  （-1≤x＜$\frac{1}{2}$）
• B． （x-1）²+y²=4　（0≤x＜1）
• C． （x-2）²+y²=4  （-1≤x＜$\frac{1}{2}$）
• D． （x-2）²+y²=4　（0≤x＜1）

Answer 1

分析 设弦BC中点（x，y），过A的直线的斜率为k，求得割线ABC的方程．再由弦的中点与圆心连线与割线ABC垂直可得垂线的方程．再根据弦的中点是这两条直线的交点，求出弦的中点的轨迹方程．

解答 解：设弦BC中点（x，y），过A的直线的斜率为k，
割线ABC的方程：y=k（x-4）；
作圆的割线ABC，所以中点与圆心连线与割线ABC垂直，方程为：x+ky=0；
因为交点就是弦的中点，它在这两条直线上，故弦BC中点的轨迹方程
是：x²+y²-4x=0（已知圆内部分）
即（x-2）²+y²=4（0≤x＜1）
故选：D．

点评 本题考查形式数形结合的数学思想，轨迹方程，直线与圆的方程的应用，中档题．