Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若方程没有实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）在单调递减，在上单调递增；

（II）

【解析】

（I）先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；

（II）由没有实数解，结合a的范围，利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况，即可求解．

（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，

所以，

令，得，

又因为函数单调递增，

所以在上，，单调递减；

在上，，单调递增.

（II）方程没有实数解，

即方程没有实数解，

设函数，

，

（i）当时，，函数没有零点；

（ii）当时，函数单调递减，，且，函数有零点；

（iii）当时，令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，

令，得，

即函数没有零点，

综上所述，若函数没有零点，

即方程没有实数解，

故实数的取值范围为.