Question

在△AB中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若cosC=-

2

10

，cosB=

5

5

．
（1）求cosA的值；
（2）若a=

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由cosB和cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinB和sinC的值，再由cosC的值利用诱导公式求出cos（A+B）的值，然后把所求式子中的角度A变为（A+B）-B后，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值；
（2）由（1）求出的cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，然后由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵cosB=

5

5

，∴sinB=

2 5

5

，
∵cosC=-

2

10

，
∴cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC=

2

10

，
∴sin（A+B）=

7 2

10

，
∴cosA=cos[（A+B）-B]
=cos（A+B）cosB+sin（A+B）sinB
=

2

10

×

5

5

+

7 2

10

×

2 5

5

=

3 10

10

，
∴cos2A=2cos²A-1=2×(

3 10

10

)2-1=

4

5

；
（2）∵cosA=

3 10

10

，∴sinA=

10

10

，
又a=

2

，sinB=

2 5

5

，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=

2 × 2 5 5

10 10

=4，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

2

×4×

7 2

10

=

14

5

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，正弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及定理是解本题的关键，同时学生在求cosA时注意角度的灵活变换．