Question

如图所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁、AD₁于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁、AD₁于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求四棱锥A-BCQP的体积；
（3）求二面角A-PQ-C的大小．

Answer 1

（1）证明：在正方形ADD₁A₁中，因为CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC．
因为四边形ADD₁A₁为正方形，AA₁∥BB₁，所以AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：因为AB⊥平面BCC₁B₁，所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为S_BCQP=（BP+CQ）×BC=20．
所以四棱锥A-BCQP的体积V_A-BCQP=S_BCQP×AB=20．
（3）解：由（1）、（2）可知，AB，BC，BB₁两两互相垂直．以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，

则A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
所以=（0，3，-3），=（4，7，-3），
设平面PQA的一个法向量为=（x，y，z）．
则•=0，•=0，即．
令x=-1，则y=z=1，所以=（-1，1，1）．
∵平面BCQ的一个法向量为=（0，0，1）．
设平面PQA与平面BCQ所成锐二面角为θ，则cosθ=cos＜，＞==．
∴平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值为
∴二面角A-PQ-C的大小为arccos．
分析：（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．在这个“折叠问题”中，要把握好不变的长度关系、线线关系、线面关系，即可得证；
（2）AB为四棱锥A-BCQP的高，并且四边形BCQP为直角梯形，由此可求四棱锥A-BCQP的体积；
（3）建立空间直角坐标系B-xyz，确定平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
点评：本题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力