Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n＞1，且6S_n＝(a_n＋1)(a_n＋2)＝1，n∈N

(Ⅰ)求｛a_n｝的通项公式；

(Ⅱ)设数列｛b_n｝满足a_n(2ⁿ－1)＝1并记T_n为｛b_n｝的前n项和，求证：3T＋1＞log₂(a_n＋3)，n∈N．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2. 　　又由an+1＝Sn+1－Sn＝， 　　得an+1－an－3＝0或an+1＝－an 　　因an＞0，故an+1＝－an不成立，舍去. 　　因此an+1－an－3＝0.从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n－2. 　　(Ⅱ)证法一：由可解得 　　； 　　从而. 　　因此. 　　令，则 　　. 　　因，故 　　. 　　特别的.从而， 　　即. 　　证法二：同证法一求得bn及Tn. 　　由二项式定理知当c＞0时，不等式 　　成立. 　　由此不等式有 　　 　　 　　＝. 　　证法三：同证法一求得bn及Tn. 　　令An＝，Bn＝，Cn＝. 　　因，因此. 　　从而 　　＞.