Question

17．已知函数f（x）=x²-（m-2）x-2m
（1）当m=4且x∈[2，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若m∈[1，3]时，f（x）≤0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过配方，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．
（2）转化主元，构造一次函数，利用恒成立，列出不等式组求解即可．

解答 （本小题12分）
解：（1）当m=4时，f（x）=x²-2x-8=（x-1）²-9
在x∈[2，3]上为增函数∴f（x）_min=f（2）=-8，f（x）_max=f（3）=-5
所以函数f（x）的值域为[-8，-5]
（2）t（m）=x²-（m-2）x-2m可看作关于m的一次函数
为使当m∈[1，3]时，f（x）≤0恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}t（1）={x^2}+x-2≤0\\ t（3）={x^2}-x-6≤0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-2≤x≤1\\-2≤x≤3\end{array}\right.⇒-2≤x≤1$，
∴x的取值范围为[-2，1]

点评 本题考查函数恒成立，转化主元的方法，考查二次函数的性质的应用，是中档题．