Question

（1）已知圆S：x²+y²=a²（a＞0），直线l₁：y=k₁x+p交圆S于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若k₁•k₂=-1，证明：E是CD的中点；
（2）已知椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，直线l₁：y=k₁x+p交椭圆T于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若k1•k2=-

b2

a2

．问E是否是CD的中点，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立直线l₁，l₂的方程，联立直线l₁与圆的方程，确定CD中点坐标，利用韦达定理，即可得到结论；
（2）联立直线l₁，l₂的方程，联立直线l₁与圆的方程，确定CD中点坐标，利用韦达定理，即可得到结论．

解答：证明：（1）若k₁•k₂=-1，则l2：y=-

1

k1

x，与l₁：y=k₁x+p联立解得xE=-

k1p

1+k12

．
将l₁：y=k₁x+p与S：x²+y²=a²（a＞0）联立消去y，整理得(1+k12)x2+2k1px+p2-a2=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为M（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=

1

2

(-

2k1p

1+k12

)=-

k1p

1+k12

=xE，
所以E与M重合，故E是CD的中点．            …（8分）
（2）证明：若k1•k2=-

b2

a2

，则L2：y=-

b2

a2k1

x，与l₁：y=k₁x+p联立，解得xE=-

a2k1p

b2+a2k12

．
将l₁：y=k₁x+p与T：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)联立消去y，整理得(b2+a2k12)x2+2a2k1px+a2p2-a2b2=0
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为M（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=

1

2

(-

2a2k1p

b2+a2k12

)=-

a2k1p

b2+a2k12

=xE，
所以E与M重合，故E是CD的中点．            …（16分）

点评：本题考查直线与直线，直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．