Question

已知圆C：x²+y²=2，坐标原点为O．圆C上任意一点A在x轴上的射影为点B，已知向量

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

(t∈R，t≠0)．
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）当t=

2

2

时，过点S（0，-

1

3

）的动直线l交轨迹E于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过T点？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

，可得坐标之间的故选，利用代入法，可求动点Q的轨迹E的方程；
（2）先判断所求的点T如果存在，只能是（0，1），再证明．直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，根据韦达定理，推断TA⊥TB，即可得以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．

解答：解：（1）设Q（x，y），A（x₀，y₀），B（x₀，0）．
∵

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

，∴（x，y）=t（x₀，y₀）+（1-t）（x₀，0）=（x₀，ty₀），
∴

x0=x y0= 1 t y

．
又A（x₀，y₀）在圆x²+y²=2上，
∴轨迹E的方程为x2+

y2

t2

=2，即

x

2

2+

y2

2t2

=1…．…（4分）
（2）当t=

2

2

时，轨迹E的方程为

x

2

2+y2=1
（ⅰ）当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+

1

3

)2=

16

9

（ⅱ）当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1
联立解得两圆相切于点（0，1），．…..…（6分）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．
事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆x²+y²=1过点T（0，1）．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l的方程为y=kx-

1

3

，
代入椭圆方程，消去y得（18k²+9）x²-12kx-16=0．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
又∵

TA

=（x₁，y₁-1），

TB

=（x₂，y₂-1），
∴

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+（kx₁-

1

3

）（kx₂-

1

3

）
=（1+k²）x₁x₂-

1

3

k（x₁+x₂）+

1

9

=（1+k²）•

-16

18k2+9

-

1

3

k•

-12k

18k2+9

+

1

9

=0，
∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1），
综上，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件..…（10分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题，考查向量知识的运用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．