Question

如图所示，已知A、B、C是椭圆E：=1（a＞b＞0)上的三点，其中点  

A的坐标为（2，0）,BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.

（1）求点C的坐标及椭圆E的方程；

（2）若椭圆E上存在两点P、Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量与是否共线，并给出证明.

Answer 1

（1）C（，）, =1 （2）向量与向量共线

解析:

（1）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0）,

∴|OC|=|AC|.又A（2，0），∠ACB=90°,

∴C（，）,                                                         3分

∵a=2，将a=2及C点坐标代入椭圆方程得

=1,∴b²=4,

∴椭圆E的方程为:=1.                                                                  7分

（2）对于椭圆上两点P、Q，∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于直线x=对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，

∴直线PC的方程为y-=k(x-),

即y=k(x-)+.                                                                             ①

直线CQ的方程为y=-k(x-)+,                               ②           10分

将①代入=1,

得(1+3k²)x²+6k(1-k)x+9k²-18k-3=0,                                               ③

∵C(,)在椭圆上，∴x=是方程③的一个根.

∴x_P·=，∴x_P=，同理可得,x_Q=,

∴k_PQ==.                                                      14分

∵C（，），∴B（-，-），

又A（2，0），∴k_AB==，                                                          15分

∴k_AB=k_PQ，∴向量与向量共线.                                                      16分