Question

如图所示，已知A，B，C是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2

3

，0)，BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求点C的坐标及椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E上存在两点P，Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量

PQ

与

AB

是否共线，并给出证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据|BC|=2|AC|，且BC经过O可推断出|OC|=|AC|，进而根据A(2

3

，0)，∠ACB=90°求得C点的坐标，将a及C点坐标代入椭圆方程求得b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据∠PCQ的平分线总垂直于x轴，可知PC与CQ所在直线关于直线x=

3

对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，进而可表示出直线PC的方程和直线CQ的方程分别于椭圆方程联立，根据C点坐标且在椭圆上，可利用韦达定理求得x_Q和x_p的表达式，进而求得B的坐标，则直线AB的斜率可求得，进而可知k_AB=k_PQ，推断出向量

PQ

与向量

AB

共线．

解答：解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0），
∴|OC|=|AC|．又A(2

3

，0)，∠ACB=90°，
∴C(

3

，

3

)，
∵a=2

3

，将a=2

3

及C点坐标代入椭圆方程得

3

12

+

3

b2

=1，∴b2=4，
∴椭圆E的方程为：

x2

12

+

y2

4

=1．

（Ⅱ）对于椭圆上两点P，Q，
∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于直线x=

3

对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，
∴直线PC的方程为y-

3

=k(x-

3

)，
即y=k(x-

3

)+

3

．①
直线CQ的方程为y=-k(x-

3

)+

3

．②
将①代入

x2

12

+

y2

4

=1，
得(1+3k2)x2+6

3

k(1-k)x+9k2-18k-3=0，③
∵C(

3

，

3

)在椭圆上，
∴x=

3

是方程③的一个根．
∴xP•

3

=

9k2-18k-3

1+3k2

，
∴xP=

9k2-18k-3

3 (1+3k2)

，
同理可得，xQ=

9k2+18k-3

3 (1+3k2)

，
∴kPQ=

y Q-yP

xQ-xP

=

-k(xQ+xP)+2 3 k

xQ-xP

=

1

3

．
∵C(

3

，

3

)，
∴B(-

3

，-

3

)，
又A(2

3

，0)，
∴kAB=

3

3 3

=

1

3

，
∴k_AB=k_PQ，∴向量

PQ

与向量

AB

共线．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．