Question

设z是虚数，，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设，求证：u为纯虚数．

Answer 1

解：设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）
（1）
∵-1＜ω＜2，∴，
又∵y≠0，∴x²+y²=1即|z|=1
∵，
∴
即z的实部的取值范围是
（2）
∵x²+y²=1，∴
又∵y≠0，
∴u是纯虚数．
分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．
（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．
点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．