Question

已知点F椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点，点M在椭圆E上，以M为圆心的圆与x轴切于点F，与y轴交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形；又椭圆E上的P、Q两点关于直线l：y=x+n对称．
（I）求椭圆E的方程；
（II）当直线l过点（0，）时，求直线PQ的方程；
（III）若点C是直线l上一点，且∠PCQ=，求△PCQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用△ABM是边长为2的正三角形求出c，再利用点M在椭圆E上即可求椭圆E的方程；
（II）把直线PQ的方程与椭圆方程联立求出P、Q两点的坐标之间的关系，再利用P、Q两点关于直线l：y=x+n对称．即可求直线PQ的方程；
（III）把△PCQ面积用|PQ|表示出来，再利用弦长公式求出|PQ|即可求△PCQ面积的最大值．
解答：解：（I）由题意可知：
M （c，2）且c为正三角形的高，所以c=
将点M坐标代入椭圆方程可得：与a²=b²+3联立可得：a²=9，b²=6，所以椭圆方程为：
（II）设PQ：y=-x+m代入椭圆方程2x²+3y²=18整理得5x²-6mx+3m²-18=0
△=36m²-4•5•（3m²-18）＞0，则
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），故
，则P、Q的中点为
由于l方程为，故，得m=-1
则直线PQ的方程为y=-x-1
（III）[1+（-1）²]

=
则当m=0时，S_△POQ的最大值为
点评：本题是圆锥曲线的综合大题，主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力．