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已知点F椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点,点M在椭圆E上,以M为圆心的圆与x轴切于点F,与y轴交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形;又椭圆E上的P、Q两点关于直线l:y=x+n对称.
(I)求椭圆E的方程;
(II)当直线l过点(0,)时,求直线PQ的方程;
(III)若点C是直线l上一点,且∠PCQ=,求△PCQ面积的最大值.

【答案】分析:(I)先利用△ABM是边长为2的正三角形求出c,再利用点M在椭圆E上即可求椭圆E的方程;
(II)把直线PQ的方程与椭圆方程联立求出P、Q两点的坐标之间的关系,再利用P、Q两点关于直线l:y=x+n对称.即可求直线PQ的方程;
(III)把△PCQ面积用|PQ|表示出来,再利用弦长公式求出|PQ|即可求△PCQ面积的最大值.
解答:解:(I)由题意可知:
M (c,2)且c为正三角形的高,所以c=
将点M坐标代入椭圆方程可得:与a2=b2+3联立可得:a2=9,b2=6,所以椭圆方程为:
(II)设PQ:y=-x+m代入椭圆方程2x2+3y2=18整理得5x2-6mx+3m2-18=0
△=36m2-4•5•(3m2-18)>0,则
令P(x1,y1),Q(x2,y2),故
,则P、Q的中点为
由于l方程为,故,得m=-1
则直线PQ的方程为y=-x-1
(III)[1+(-1)2]

=
则当m=0时,S△POQ的最大值为
点评:本题是圆锥曲线的综合大题,主要考查解析几何的有关知识,以及分析问题与解决问题的能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知点F椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点,点M在椭圆E上,以M为圆心的圆与x轴切于点F,与y轴交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形;又椭圆E上的P、Q两点关于直线l:y=x+n对称.
(I)求椭圆E的方程;
(II)当直线l过点(0,
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)时,求直线PQ的方程;
(III)若点C是直线l上一点,且∠PCQ=
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,求△PCQ面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年黑龙江省鸡西市密山一中高三(下)第五次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知点F椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点,点M在椭圆E上,以M为圆心的圆与x轴切于点F,与y轴交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形;又椭圆E上的P、Q两点关于直线l:y=x+n对称.
(I)求椭圆E的方程;
(II)当直线l过点(0,)时,求直线PQ的方程;
(III)若点C是直线l上一点,且∠PCQ=,求△PCQ面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年天津市十二所重点中学高三联考数学试卷2(文科)(解析版) 题型:解答题

已知点F椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点,点M在椭圆E上,以M为圆心的圆与x轴切于点F,与y轴交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形;又椭圆E上的P、Q两点关于直线l:y=x+n对称.
(I)求椭圆E的方程;
(II)当直线l过点(0,)时,求直线PQ的方程;
(III)若点C是直线l上一点,且∠PCQ=,求△PCQ面积的最大值.

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(本小题满分14分)已知点F椭圆E:的右焦点,点M在椭圆E上,以M为圆心的圆与x轴切于点F,与y轴交于A、B两点,且是边长为2的正三角形;又椭圆E上的P、Q两点关于直线对称.

(1)求椭圆E的方程;(2)当直线过点()时,求直线PQ的方程;

(3)若点C是直线上一点,且=,求面积的最大值.

 

 

 

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